Question

Fie n ≥2 un numar natural.Determinati multimea valorilor pe care le poate lua suma
S=[ x₂-x₁] +[x₃-x₂] + ...+ [ x n - x n-1 ] , unde x₁,x₂,x₃ ,... , x n sunt numere reale cu partea intreaga 1,2,3...n. [x] -partea inteaga
Scuzati-ma ca nu am mai pus ca indice la n si n-1 (in partile intregi ) , n-am stiut cum! :)

Answer 1

Consideram   $x_{k}=k+ p_{k}$,  unde $p_{k}$ este partea zecimala a lui $x_{k}$. Cu aceasta notatie obtinem o diferenta de ordinul k: $[ x_{k}- x_{k-1}]=[k-(k-1)+ p_{k}- p_{k-1}]$,care este =1 daca partea zecimala  a lui {Xk} este mai mare sau egala cu a lui {Xk-1}, sau 0 daca inegalitatea este inversa, deci S poate fi egal cu 0, 1, 2, ...,n-1,adica 
S∈{0,1,2,...,n-1}