Question

Fie n=9+99+999+9999+....+99..9 (2016 cifre)+2016.Arătați ca n este divizibil cu 90

Answer 1

n=(10-1)+(100-1)+....+(100..0(2016cifre)-1)+2016
Observam ca -1 apare de 2016 ori, astfel dispare +2016 de la final
=>n=10+100+....+100..0(2016cifre)
n=111....0(2017cifre)
Ultima cifra e 0=>n este divizibil cu 10. (1)
Mai avem de demonstrat ca e divizibil cu 9.
=>facem suma cifrelor care e 2016 care se imparte exact la 9 (2)
=> (1) si (2) n e divizibil cu 90

Answer 2

n=9+99+999+9999+………+9999…..999 (2016 de 9) +2016

il impartim pe 2016 cate un 1 pentru fiecare din cele 2016 nr din suma

n=(9+1)+(99+1)+(999+1)+………+(99999…..99999 +1)

n=10+100+1000+….+100000…………..000 (2016 de 0)

n=1111111…………………..11110  (2016 de 1), n  e divizibil cu 10

suma cifrelor=2016·1=2016 care e divizibil cu 9 (2+1+3=9)

deci n e divizibil si cu 9

=> n e divizibil cu 90