Question

Fie n > 2 un număr natural. Arătaţi că numărul n^4 + n^2 +3
nu poate fi scris ca suma a două numere prime.

Answer 1

O sumă de două numere prime > 2 nu poate fi niciodată impară,

deoarece toate numerele prime > 2 sunt impare, iar impar + impar = par.

n⁴+n²+3 = n²(n²+1)+3 = a+b

① Dacă n este par ⇒ n² este par ⇒ n²+1 este impar

⇒ n²(n²+1) este par ⇒ n²(n²+1)+3 este impar.

② Dacă n este impar ⇒ n² este impar ⇒ n²+1 este par

⇒ n²(n²+1) este par ⇒ n²(n²+1)+3 este impar.

③ Dacă a sau b = 2 ⇒ n²(n²+1)+3 = 2+b

⇒ b = n²(n²+1)+1 ⇒ b = n⁴+n²+1 =

=  n⁴+2n²+1-n² = (n²+1)²-n² = (n²+1-n)(n²+1+n)

⇒ b = (n²-n+1)(n²+n+1)

⇒ b are cel putin 2 factori primi diferiți de 1.

⇒ b nu este prim.

Din ①, ② sau ③ ⇒ n⁴+n²+3 nu poate fi scris ca sumă de două numere prime.