Question

Fie n∈N*. Rezolvati in R ecuatia:
[x] + [2x] + ... + [nx] = n(n+1)/2 Va roooog!!!

Answer 1

1+2+...+n=n(n+1)/2∈N

[x], [2x]...[nx]∈N
se observa ca x=1 verifica ecuatia
si ca x=2 nu o verifica (2+4+..+2n=n(n+1)≠n(n+1)/2, pt n∈N*)
deci x∈[1;2)
dar e necesar ca [2x]=2x, [3x]=3x,...,[nx]=nx
cel mai mare este nx ; daca [nx]=nx, celelate conditii sunt satisfacute
trebuie ca [nx]=nx
deci nx≤nx<nx+1 |impartim prin n
x≤x<x+1/n
dar
1≤x<2
deci Solutia in R este
x∈[1;1+1/n)

care este intr-adevar ⊂[1;2)
se observa ca, pe masura ce n creste, marimea intervalului scade
de ex pt n=9, x∈[1; 1,(1) )
intr-adevar, fie de exemplu x=1,1∈[1; 1,(1) )
[1,1]+[2,2]+...[9,9]=1+2+...+9=9*10/2