Question

Fie n∈N . Sa se determine ordinea crescatoare a numerelor : a=$\sqrt{n} +\sqrt{n+5}$ , b=$\sqrt{n+1} +\sqrt{n+4}$ , c=$\sqrt{n+2} +\sqrt{n+3}$ .

Answer 1

f(x) = √(n+x) + √(n+5-x), n ∈ ℕ

f(x) = √(n+x) + √(n-x+5)

Derivez funcția:

f'(x) = (n+x)'/[2√(n+x)] - (n-x+5)'/[2√(n-x+5)]

f'(x) = 1/[2√(n+x)] - 1/[2√(n-x+5)]

Aduc la acelasi numitor:

f'(x) = (1/2)•[√(n-x+5) - √(n+x)]/[√((n+x)(n-x+5))]

Observăm că:

√(n-x+5) - √(n+x) > 0, ∀0 ≤ x ≤ 2

=> f'(x) > 0, ∀0 ≤ x ≤ 2

=> f(x) - strict crescătoare

pentru 0 ≤ x ≤ 2

=> f(0) < f(1) < f(2)

=> √n + √(n+5) < √(n+1) + √(n+4) < √(n+2) + √(n+3)

=> a < b < c