Question

Fie n nr nat. nenul. consideram nr.:

A=(-2/3)*(-2/3)la puterea 2*...*(-2/3)la puterea 2012
B=(-3/2)*(-3/2)la puterea 2*...*(-3/2)la puterea n

determinati cel mai mic nr. n pt. care A*B= nr. nat.

raspunsul este 2012 cum se ajunge la el? detaliati!

si cum se face
1/2*3+1/2*3+...+1/x(x+1)=2010/2011

Answer 1

$A=(-\frac{2}{3})*(-\frac{2}{3})^2*...*(-\frac{2}{3})^{2012}=(-\frac{2}{3})^{1+2+...+2012}=(-\frac{2}{3})^{\frac{2012*2013}{2}}$

$B=(-\frac{3}{2})*(-\frac{3}{2})^2*...*(-\frac{3}{2})^n=(-\frac{3}{2})^{1+2+...+n}=(-\frac{3}{2})^{\frac{n*(n+1)}{2}}$

Pentru ca A*B sa fie nr nat, cele doua numere trebuie sa aiba aceeasi putere. Daca nu vor avea aceeasi putere, atunci una din fractii nu se va combina cu cealalta pentru a crea un numar natural, si va transforma totul intr-o fractie.

Ex: $(-\frac{2}{3})*(-\frac{3}{2})=+\frac{6}{6} =1$

Fiecare putere a primei fractii, se va completa cu fiecare putere a celeilalte fractii pentru a crea un intreg.

$\frac{2012*2013}{2} =\frac{n*(n+1)}{2}$

$n=2012$