Question

Fie n∈ℤ. Sa se arate ca numerele 21n-3 supra 4 si 15n+2 supra 4 nu pot fi simultan numere intregi

Answer 1

Hello, pentru a rezolva aceasta problema, mai intii sa cercetam fiecare caz aparte:
(21*n - 3)/4, putem scria expresia ca: (20*n - 4)/4 + (n - 1)/4 <=> 4*(5*n - 1)/4 + (n - 1)/4 <=> 5*n - 1 + (n - 1)/4, ok, ca aceasta expresie sa apartina lui N, n - 1 trebuie sa fie un multiplu al lui 4 => n - 1 = 4*a, unde a este un numar intreg <=> n = 4*a + 1.
Expresia a doua:
(15*n + 2)/4, procedam la fel: (16*n + 4)/4 + (n - 2)/4 = 4*(4*n + 1)/4 + (n - 2)/4 <=> 4*n + 1 + (n -2)/4, ca expresia sa apartina lui N, n - 2 trebuie sa fie multiplu al lui 4 => n - 2 = 4*b, unde b este un numar intreg <=> n = 4*b - 2.
Acum, tu ai putea scrie doar ca n - 1 si n - 2 nu pot fi simultan multiplii al lui 4, eu o sa demonstrez de ce:
n = 4*a - 1 si n = 4*b - 2 => 4*a - 1 = 4*b - 2 <=> 4*a - 4*b = -2 + 1 <=> 4*(a - b) = -1 <=>
a - b = -1/4, am spus mai sus ca a si b sunt numere intregi, deci egalitatea: a - b = -1/4 este falsa => n - 1 si n - 2 nu pot fi multiplii al lui 4 simultan.

Daca nu ai inteles ceva, scrie in comentarii, good luck!