Question

Fie n un numar natural astfel incat 2•n+1 si 3•n+1 sunt simultan patrate perfecte. Aratati ca n este multiplu de 5.

Answer 1

Daca n este numar natural atunci el poate fi de forma: $M_{5}$+{0,1,2,3,4}.
Daca n=$M_{5} +1$ => 2n+1=2($M_{5} +1$)=$M_{5}$+2 , care are ultima cifra 2 sau 7; deci nu e patrat perfect (in contradictie cu enuntul)
Daca n=$M_{5} +2$ => 3n+1=3($M_{5}+2$)+1=$M_{5} +7= M_{5} +5+2= M_{5} +2$, care nu poate fi patrat perfect (in contradictie cu enuntul)
Daca n=$M_{5}+3$ => 2n+1=2($M_{5} +3$)+1=$M_{5} +7= M_{5} +2$, care nu poate fi patrat perfect (in contradictie cu enuntul)
Daca n=$M_{5}+4$ => 3n+1=3($M_{5}+4$)+1=$M_{5}+13= M_{5}+3$, care nu poate fi patrat perfect (in contradictie cu enuntul) (ultima cifra:3 sau 8)
Daca n=$M_{5}$ => 2n+1=$M_{5}$+1 si 3n+1=$M_{5}+1$, care pot fi simultan patrate perfecte.
Deci n este un multiplu de 5.