Question

Fie n un numar natural astfel incat 2n+1 si 3n+1 sunt simultan patrate perfecte.
Aratati ca n este multiplu de 5.

Answer 1

Daca n este numar natural atunci el poate fi de forma:$M_{5}${0,1,2,3,4,}

Daca n=$M_{5}+1$ => 2n+1=2($M_{5}+1$)=$M_{5} +2$ care are ultima cifra 2 sau 7,deci nu e patrat perfect.

Daca n=$M_{5}$+2=> 3n+1=3($M_{5}+2$)+1=$M_{5}$+7=$M_{5}$+5+2=$M_{5}$+2 ,care nu poate fi patrat perfect.


Daca n=$M_{5}+3$ => 2n+1=2($M_{5}+3$ )+1=$M_{5} +7= M_{5}+2$care nu poate fi patrat perfect


Daca n=$M_{5}+4$ => 3n+1=3($M_{5}+4$)+1=$M_{5}+ 13$=$M_{5}+3$ care nu poate fi patrat perfect ultima cifra fiind 3 sau 8


Daca n=$M_{5}$ =>> 2n+1=$M_{5} +1$ si 3n+1=$M_{5}+1$ care pot fi patrat perfect

Din concluzie  n este un multiplu de 5.