Question

FIE N un numar natural nenul . Aratati ca numarul a = radical din 2+4+6+8+...+2n nu este numar natural ,unde n apartine N

Answer 1

Explicație pas cu pas:

2+4+6+....+2n=2(1+2+3+....+n)=2*n(n+1)/2=n(n+1)

Deci a=Vn(n+1)

Stim ca

n<n+1=>n²<n(n+1)

n<n+1=>n(n+1)<(n+1)²

=> n²<n(n+1)<(n+1)² => n(n+1) nu este patrat perfect pentru ca stim ca daca un numar se poate incadra intre 2 patrate perfecte CONSECUTIVE atunci el nu este patrat perfect (ex 49<x<64 =>x€{50,51,52,...,63} si nici o valoare a lui x nu este p.p)

Cum n(n+1) nu este patrat perfect => Vn(n+1) irational =>

a-nu este natural

Answer 2

a = √(2 + 4 + .. + 2n)

= √2(1 + 2 + .. + n)

aplicam Suma lui Gauss

= √2×n(n+1) : 2

= √n(n+1) ∈ N

Radicalul a doua numere consecutive nu are cum sa fie un numar natural