Question

Fie nr. a=1supra(1×2) +1supra(2×3)+....+1supra n (n+1) Sa se netermine ' n' asfel parte fractionala din a =o,999

Answer 1

Deoarece 1/(1·2)=1/1-1/2 ; 1/(2·3)=1/2-1/3 ; .... ; 1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1) ⇒  
a=1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1) Se reduc la zero toti termenii in afara de primul si ultimul ⇒ a=1/1-1/(n+1) ⇒ a=(n+1-1)/(n+1) ⇒ a=n/(n+1) . Deoarece n/(n+1) este o fractie subunitara  iar a=[a]+{a} ⇒ [a]=0 iar a={a} ⇒  
n/(n+1)=0,999 ⇒n/(n+1)=999/1000 ⇒n/(n+1)=999/(999+1) ⇒ n=999.