Question

Fie nr. A=1x2x3x...x1980. Sa se arate ca A se divide cu 1980 la putere 180.

Answer 1

daca descompun pe 1980 in factori primi rezulta
1980=2^2 * 3^2 *5 * 11

si ca numarul A sa se divida cu 1980^180, trebuie ca sa contina toti acei factori primi ridicati la puterea respectiva, adica trebuie sa fie divizibil cu
(2^2)^180 * (3^2)^180 * 5^180 * 11^180

adica sa fie divizibil cu:
2^360 * 3^360 * 5^180 * 11^180

deoarece oricum in A sunt mai multi 2 decat 3, trebuie sa arat ca A are cel putin 3^360

si lafel si in cazul lui 5 si 11.... deoarece sunt mai multi 5 decat 11, trebuie sa arat ca A are 180 de 11 in descompunerea sa

pentru a vedea cati de 3 sunt in A, impartim pe 1980 (ultimul termen) la 3 la puterea 1, la puterea 2, la puterea 3........... pana cand catul impartirii este <1
si dupa adunam caturile

deci 1980:3=cat 660
si este suficient, deja 1980 are mai mult decat 360 de 3 in el

deci clar are mai multi 2, deoarece are mai multi 2 decat 3

iar pentru 11 lafel impart
1980:11= catul 180

deci deja sunt suficienti 11, si de asemenea rezulta ca sunt suficienti 5

deci A este divizibil cu 1980^180

(daca nu ai inteles ceva sa ma intrebi)