Question

fie nr a si b.aratati ca a=b.
a=1+2+2^2+2^3+...+2^100+2^101
b=3(1+4+4^2+...+4^50)

Answer 1

Răspuns:

a=b

Explicație pas cu pas:

Exercițiul se rezolvă cu ajutorul progresiilor geometrice.

Pentru a observăm că avem o sumă de termeni ai unei progresii geometrice, cu a₁=1 și q=2. Avem 102 termeni pentru care trebuie să calculăm suma.

Suma primilor n termeni au unei progresii geometrice este dată de formula

Sn= $\frac{a_{1}(1-q^{n)} }{1-q}$  În cazul nostru, S₁₀₂ = $\frac{1(1-2^{102)} }{1-2}$ = 2¹⁰² - 1

Pentru b, ceea ce este în paranteză este o sumă de termeni ai unei progresii geometrice, cu b₁=1 și q=4. Avem 51 de termeni.

S₅₁ = $\frac{1(1-4^{51)} }{1-4}$  = $\frac{4^{51}-1 }{3}$.  4⁵¹ se poate scrie ca (2²)⁵¹, adică 2¹⁰²

Deci S₅₁ = $\frac{2^{102}-1 }{3}$  

b=3×S₅₁ = 2¹⁰² - 1

Avem a=b = 2¹⁰² - 1