Question

Fie nr. B = 999...9((2015cifre)) - 999...9((2014cifre))-....-999 -99 -9.
Cate cifre de 8 are nr. B?
Demonstrati ca nr. B nu e p.p.

Answer 1

9 =  ( 10 - 1) /9 =(10¹ - 1) / 9 
99 = ( 100 - 1) / 9 =( 10² - 1 ) / 9
999 = ( 1000 - 1) / 9 =(10³ - 1 ) / 9 
..................
9999 ...999 ( cu  2014 cifre) = ( 10²⁰¹⁴ - 1) / 9 
99999..999 ( cu  2015  cifre ) = ( 10²⁰¹⁵ - 1 ) / 9 
9999...999 ( cu 2014 cifre ) + .... + 999 + 99 + 9 = 
                    =  [ 10²⁰¹⁴ - 1 + 10²⁰¹³ - 1 + ... + 10³ - 1 + 10² -1 + 10¹ - 1] /9=
                                          - 1 de 2014 ori 
                    = [10²⁰¹⁴ +...  10³ + 10² +10 - 2014 ] / 9 
                     = 10 ·[10²⁰¹⁴ - 1 ] / ( 10 -1)  · 9 =
                     = [ 10¹⁺ ²⁰¹⁴  - 10 ] / 81 = [ 10²⁰¹⁵ - 10 ] / 81 
b = ( 10²⁰¹⁵ - 1) / 9   -  [ 10²⁰¹⁵  - 10 ] / 81 =
   =[  9 · ( 10²⁰¹⁵  - 1 )  - 10²⁰¹⁵  + 10 ] / 81=
   = [ 9 ·10²⁰¹⁵  - 9 - 10²⁰¹⁵ + 10 ] / 81 =
      = [ 8· 10²⁰¹⁵  + 1 ] / 81 = [ 8 ·10000...00000 + 1 ] / 81 
            = 800000..001 / 81 = 9 ·88888......9 / 81 = 
             = 88888888....889 / 9  = 888888....889 / 3²
                                                 8  de  2014 ori
dar 88888...8889 = nu este pp