Question

Fie nr naturale a,b,c astfel incat 13a+2b-11c=0. Demonstrati ca numarul m=(a+b)(b+c)(c+a) este divizibil cu 286.

Answer 1

13a + 2b - 11c = 0
11c = 13a + 2b
2b = 11c - 13a
13a = 11c - 2b

m  = (a + b)(b + c)(c + a)
Inmultim relatia cu 13 si il distribuim intr-una din parantezele unde se afla a, ca sa obtinem 13a si sa-l putem inlocui:

13m = (13a + 13b)(b + c)(c + a) = (11c - 2b + 13b)(b + c)(c + a) =
= (11c - 11b)(b + c)(c + a) = 11(c - b)(b + c)(c + a)  ==> 13m divizibil cu 11, dar 13 nu este divizibil cu 11 ==> m este divizibil cu 11

Facem acelasi lucru pentru 2b si 11c:

2m = (a + b)(2b + 2c)(c + a) = (a + b)(11c - 13a + 2c)(c + a) =
= (a + b)(13c - 13a)(a + b) = 13(a + b)(c - a)(a + b)  ==> 2m divizibil cu 13, dar 2 nu este divizibil cu 13 ==> m divizibil cu 13

11m = (a + b)(b + c)(11c + 11a) = (a + b)(b + c)(13a + 2b + 11a) =
 = (a + b)(b + c)(24a + 2b) = 2(a + b)(b + c)(12a + b) ==> 11m divizibil cu 2, dar 11 nu este divizibil cu 2 ==> m divizibil cu 2


m este divizibil cu 2, 11 si 13. Cum toate aceste numere sunt prime intre ele ==> m este divizibil si cu produsul lor =>> 2 * 11 * 13 = 286 ==> m este divizibil cu 286