Question

Fie nr x si i cu proprietatile: x-9=8×(9+9^2+9^3+....9^n-1) si y-12= 4×(5+5^2×5^3+.....5^n). Să se demonstreze ca x este pătrat perfect,iar y nu este pătrat perfect.

Answer 1

x-9=8x(1+9+9^2+...+9^(n-1) -1) In paranteza am adunat si am scazut 1 ca sa putem aplica formula:1+9+9^2+...+9^(n-1)=(9^n -1)/(9-1)
x-9=8x((9^n -1)/8 -1)=9^n -1 -8=9^n -9
x=9^n=(3^2)^n=(3^n)^2=patrat perfect

y-12=4x(1+5+5^2+...+5^n -1)=4x((5^(n+1) -1)/4)-1)=5^(n+1) -1-4=5^(n+1) -5
y-12=5^(n+1) -5
y=5^(n+1)+7
y=5*5^n +7=5*5^n +5+2=5*(5^n +1) +2
y=5*(5^n +1) +2

Analizam membrul drept:
5^n +1 se termina intotdeauna in cifra 6, deoarece 5 la orice putere se termina in 5, +1=6
5*(5^n +1) se termina in zero, deoarece 5^n +1 se termina in 6 care inmultit cu 5 da un nr care se termina in zero
5*(5^n +1) +2 se termina evident in doi, deci nu este patrat perfect, deoarece nu exista patrat perfect care sa se termine in doi si probati:
0x0=0
1x1=1
2x2=4
...
9x9=1 (se termina in 1)