Question

Fie numarul a = 13 + 13² + 13³ + ... + 13²⁰¹⁴. Aratati ca:
a) Nr. a este nr. par
b) Nr. a se divide cu 14

Answer 1

a= 13+ 13²+ 13³+ ... + 13²⁰¹⁴
1. a= nr. par
2. a : 14

2. P₁: Se scoate factor comun pe 13, apoi pe 13²  ... din fiecare doi termeni.

a=13¹·( 13⁰ + 13¹)+ 13²·( 13⁰+ 13) +... + 13²⁰¹³ ·( 13⁰+ 13)

P₂: Se adună cei doi termeni din paranteză.

a=13¹·14+ 13²·14 +... + 13²⁰¹³ ·14

P₃: Se scoate factor comun pe 14.
a=14· (13¹+ 13²+... + 13²⁰¹³)

P₄: Se analizează produsul.

a=14· (13¹+ 13²+ ... + 13²⁰¹³)    ,
dacă  14 :14 ,   atunci  14· (13¹+ 13²+ ... + 13²⁰¹³)  : 14

1. a= nr. par ?
 
. u( 13²⁰¹³)= ? 

P₁. Se descoperă nr. de repetări!
13¹=                13
13²=               169
13³=                ...7
13⁴=  ..            ...1         nr. de repetări= 4
13⁵= ..................3

P₂. Se împarte exponentul sau puterea la nr. de repetări!
2 013::4= 503( r.1)

P₃. Se fixează ultima cifră. Exponentul este dat de puterea restului!
u(13⁰)= 1

REGULĂ!  Se împarte exponentul la nr. de repetări; ultima cifră a nr. este                    dată  de ultima cifră a nr. aflat PUTEREA RESTULUI.

CONCLUZII!

a= 14·( 13¹+ 13²+ 13³+ 13⁴ + ... + 13²⁰¹³)
 
Se ia în calcul doar ultima cifră a fiecărui termen.
a= 14·( ...3+... 9 + ... 7+ ,,, + 1+ ... 3+ ... 9+ ... 7+ ... 1 + ....+ ..... 1)

Se observă acea repetare de 4 şi stabilirea ultimei cifre din şir.

1. mp. +imp= par(3+ 9= 12)
2. par+ imp= imp,( 12+ 7= 19)
3.imp+ imp= par (19+ 1= 20)
--------------------------------------
2013. imp.+ par= par

a=14 · ... 0 ⇒ nr. par ·nr. par= nr. par   , a= nr. par 

Answer 2

a=13+13^2+13^3+...+13^2014 se divide cu 14
Ptr inceput,ne vom uita la exponentul 2014,ne uitam la cat se imparte.Nr 2014 se imparte la 2,deci vom lua grupe de cate 2 termeni.
a=13+13^2=dam factor comun pe 13*(1+13)=13*14 se divide cu 14
luam urmatorii 2 termeni
a=13^3+13^4=dam iar factor comun,de data aceasta pe 13^3*(1+13)=13^3*14 se divide cu 14
de data aceasta,vom lua ultimii 2 termeni ai sumei,adica:
a=13^2013+13^2014=13^2013*(1+13)=13^2013*14 se divide cu 14
Acum vom arata ca nr a se divide cu 14
a=(13*14+13^3*14+...+13^2013*14) se divide cu 14
il dam factor comun pe 14
a=14*(13+13^3+...+13^2013)se divide cu 14 
Nr a este nr par deoarece 14 este nr par

Sper ca te-am ajutat si te rog sa imi dai o coronita!!!Bafta!!!