Question

Fie numărul a = 33...3 având cifra 3 de n ori. Demonstrează că dacă numărul a se divide prin 13,
tunci el se divide şi prin 37. Vă rog muuult. Dau 25 puncte​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

(*) (Criteriu de divizibilitate cu 13): formand blocuri de cate 3 cifre (de la dreapta spre stanga), se calculeaza suma lor alternativa. Daca rezultatul este divizibil cu 13, atunci nr initial este divizibil cu 13.

exemplu 1: 2.910.375:  375 - 910 + 2 = -533 (ESTE divizibil cu 13)

exemplu 2: 33.333: 333-33=300 (nu e divizibil cu 13)

Demonstratie (pe scurt - un caz particular, dar e usor de extrapolat, nu conteaza cate cifre are numarul):

Fie numarul $\frac{}{abcmnp}$: daca 13 |

1001=13*77 ⇒ 13 | (± 1001) ⇒ 13 | (-1.001 * $\frac{}{abc}$)

Din ambele de mai sus, rezulta 13 | (-$\frac{}{abc}$ + $\frac{}{mnp}$), asta inseamna "suma alternativa" a blocurilor de cate 3 cifre.

Aceasta proprietate e foarte usor de utilizat in problema noastra, cand avem doar "blocuri" formate din cifre de 3.

Acum, in functie de n, testam SA="suma alternativa" a blocurilor si deci divizibilitatea cu 13 a numarului a.

n=1, a=3 ⇒ SA(1)=3, NU (e divizibil cu 13)

n=2, a=33 ⇒ SA(2)=33, NU

n=3, a=333 ⇒ SA(3)=333, NU

n=4, a=3.333 ⇒ SA(4)=330, NU

n=5, a=33.333 ⇒ SA(5)=300, NU

n=6, a=333.333 ⇒ SA(6)=0 (!!!), DA (a=3*111*1001=3*3*37*13*77)

n=7, a=3.333.333 ⇒ SA(7)=3, NU

.....................................

n=12, a=333.333.333.333, SA(12)=0, DA (a=3*111*1001*1.000.001)

.....................................

etc etc

Observam deci ca pt n=6k, SA(n)=0 si deci 13 | a

Acest fapt e evident, datorita faptului ca a (pentru n=6k) e multiplu de 333.333, care poate fi descompus in 3*111*1001, iar 111 e multiplu de 37, 1001 e multiplu de 13.

In concluzie, (doar) pentru n=6k, 13 | a si atunci si 37 | a.

Nu stiu daca pot face o demonstratie mai riguroasa, dar sunt sigur ca aceasta e calea corecta.

Multumesc pentru atentie :)