Question

Fie numărul a=9+99+999+...+99...99(de 2018 cifre) +2018 a) arătați că a se divide cu 10 b)aflați restul împărțiri numărului la 1111​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a)

$u(a) = u(9 + 99 + 999 + ... + \underbrace{999...99}_{2018 \ cifre} + 2018) = u(u(9) + u(99) + u(999) + ... + u(\underbrace{999...99}_{2018 \ cifre}) + u(2018)) =$

$= u(\underbrace{9 + 9 + 9 + ... + 9}_{2018} + 8) = u(9 \cdot 2018 + 8)$

$= u(18162 + 8) = u(18170) = 0$

$\implies u(a) = 0 \implies \bf a \ \ \vdots \ 10$

b)

scriem numărul:

$a = (10-1) + ( {10}^{2} -1) + ( {10}^{3} -1) + ... + ( {10}^{2018} - 1) + 2018 = 10 + {10}^{2} + {10}^{3} + ... + {10}^{2018} - 1 \cdot 2018 + 2018$

$\implies a = 10 + {10}^{2} + {10}^{3} + ... + {10}^{2018}$

observăm că:

$10 + {10}^{2} + {10}^{3} + {10}^{4} = 11110 = 1111 \cdot 10 \bf \ \ \vdots \ \ 1111$

suma a are 2018 termeni: 2018 = 2 + 4×504

grupăm termenii lui a în grupe de câte patru și dăm factor comun (izolăm primii doi termeni):

$a = 10 + {10}^{2} + ({10}^{3} + {10}^{4} + {10}^{5} + {10}^{6}) + ... + ({10}^{2015} + {10}^{2016} + {10}^{2017} + {10}^{2018}) = 10 + 100 + {10}^{2} \cdot (10 + {10}^{2} + {10}^{3} + {10}^{4}) + ... + {10}^{2014} \cdot (10 + {10}^{2} + {10}^{3} + {10}^{4}) = 110 + 11110 \cdot ( {10}^{2} + ... + {10}^{2014})$

=> restul împărțirii numărului a la 1111 este 110