Question

Fie numarul n=2+2^2+2^3+2^4+..........+2^2012.Calculati restul impartirii lui n la 31

Answer 1

n=2^1+2^2+2^3+2^4+....+2^2012
Numarul de termeni de la 1 la 2012=2012 termeni=numar par de termeni
Grupam termenii cate 5(eliminam primul si al doilea termen) si obtinem:
(2012-2)/5=2010/5=402 grupe.
n=2+4+(2^3+2^4+2^5+2^6+2^7)+..+(2^2008+2^2009+2^2010+2^2011+2^2012)
Dam factor comun din fiecare paranteza pe 2
n=6+2^3*(2^0+2^1+2^2+2^3+2^4)+....+2^2008*(2^0+2^1+2^2+2^3+2^4)
2^0+2^1+2^2+2^3+2^4=1+2+4+8+16=31
n=6+2^3*31+......+2^2008*31
De aici dam factor comun pe 31
n=6+31*(2^3+......+2^2008)
Notez cu k=2^3+.....+2^2008
n=6+31*k
Conform Teoremei impartirii cu rest, restul impartirii lui n la 31 este 6.