Question

Fie numarul $n= 4^{2011}.$.
a)Determinati restul impartirii numarului n la 3.
b)Demonstrati ca n are cel putin 1207 cifre.
c)Eliminam cateva cifre de la inceputul numarului n, pe care le adunam la numarul ramas.Continuam procedeul pana obtinem un nr de 10 cifre. Demonstrati ca acest nr are cel putin 2 cifre egale. Va rog mult sa o rezolvati!! Dau coronita la cea mai buna rezolvare !!! 20 puncre

Answer 1

a) cum $4^{2011}=(3+1)^{2011}={\cal{M} }3+1$, restul e 1.
b) [tex]4^{2011}=2^{4022}\ \textgreater \ 10^{1206}=2^{1206}\cdot 5^{1206}, \textrm{deoarece}\\ 2^{2816}\ \textgreater \ 2^{2814}=(2^7)^{402}\ \textgreater \ (5^3)^{402}=5^{1206},[/tex] deci numarul are cel puțin 1207 cifre.
c) Suma cifrelor numărului final e aceeași modulo 3 cu suma cifrelor numărului inițial. Dacă toate cifrele ar fi diferite, suma lor ar fi 0+1+...+9=45, care se divide cu 3. Dar numărul inițial nu se divide cu 3, deci nici suma cifrelor sale.