Question

Fie numerele : a=2012²⁰⁵⁰+2012²⁰⁰⁸ și b=2012²⁰³⁰+2012²⁰²⁸. Să se arate că a-b este multiplu de 2011²

Va rog, dau coroana și 100 de puncte ​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

$a = 2012^{2050} + 2012^{2008}$

$b = 2012^{2030} + 2012^{2028}$

$a - b = 2012^{2050} + 2012^{2008} - (2012^{2030} + 2012^{2028}) = (2012^{2050} - 2012^{2030}) - (2012^{2028} - 2012^{2008}) = 2012^{2030}(2012^{20} - 1) - 2012^{2008}(2012^{20} - 1) = (2012^{20} - 1)(2012^{2030} - 2012^{2008}) = 2012^{2008}(2012^{22} - 1)(2012^{2020} - 1) = 2012^{2008}(2012^{11} - 1)(2012^{11} + 1)(2012^{2020} - 1)$

$(2012^{11} - 1) \in \mathcal{M}_{2011}$

$(2012^{2020} - 1) \in \mathcal{M}_{2011}$

$\implies (a - b) \in \mathcal{M}_{2011^{2} }$

q.e.d.