Question

Fie numerele complexe z1,z2,z3 care satisfac relatiile

|z1|=|z2|=|z3|=1

z1+z2+z3=1

sa se determine suma z1^2n+1 + z2^2n+1 + z3^2n+1
n>=2

Answer 1

$|z_1| = |z_2|=|z_3| = 1 \\ \\ z_1+z_2+z_3 = 1$

Nu este nevoie să calculăm acea sumă la general.

Dacă găsim 3 valori care satisfac cele 2 condiții, răspunsul va fi același ca cel la general.

$z_1 = \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt 3}{2}i,\quad z_2 = -\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt 3}{2}i,\quad z_3 = 1$

Observăm că $z_1 = -z_2$

$z_1^{2n+1}+z_2^{2n+1}+z_{3}^{2n+1} = z_1^{2n+1}+(-z_1)^{2n+1}+z_{3}^{2n+1} = \\ \\ =z_1^{2n+1}-z_2^{2n+1}+z_{3}^{2n+1} = z_3^{2n+1} = 1^{2n+1} = \boxed{1}$