Fie numerele prime a si b, mai mari ca 3, astfel încât a-b este divizibil cu 6. Aflați restul împărțirii lui a*b la 6.
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
1
Explicație pas cu pas:
Primul numar prim mai mare decat 3 este 5 =>
b = 5 ; a-b divizibil cu 6 =>
Numarul prim a este = 11
11-5 = 6 (divizibil cu 6)
a·b = 11·5 = 55
55 : 6 = 9
54
----
=1 => rest 1
Restul împărțirii lui a·b la 6 este = 1
Verificam si cu alte numere prime:
Urmatorul numar prim = 7 = b =>
a₁ = 13 ; a₂ = 19 ; a₃ = 31 ....
a₁ = 13 => a·b = 13·7 = 91
91:6 = 15
6
--
31
30
---
=1 => rest 1
a₂ = 19 => a·b = 19·7 = 133
133:6 = 22
12
---
=13
12
----
=1 => rest 1
a₃ = 31 => a·b = 31·7 =217
217:6 = 36
18
---
=37
36
----
=1 => rest 1
Explicație pas cu pas:
Vom folosi faptul că orice număr prim > 3 este fie de forma 6n + 1, fie de forma 6n - 1. Dacă nu ai această informație în manual, atunci mai jos găsești demonstrația.
Numerele a și b sunt așadar de forma 6n ± 1.
Să vedem ce combinații putem face astfel încât să respectăm ipoteza a - b divizibil cu 6:
- a = 6n + 1, b = 6m + 1
⇒ a - b = 6n + 1 - 6m - 1 = 6n - 6m = 6(n - m) divizibil cu 6
- a = 6n - 1, b = 6m - 1
⇒ a - b = 6n - 1 - 6m + 1 = 6n - 6m = 6(n - m) divizibil cu 6
- a = 6n + 1, b = 6m - 1
⇒ a - b = 6n + 1 - 6m + 1 = 6n - 6m + 2 = 6(n - m) + 2 nu este divizibil cu 6
- a = 6n - 1, b = 6m + 1
⇒ a - b = 6n - 1 - 6m - 1 = 6n - 6m - 2 = 6(n - m) - 2 nu este divizibil cu 6
⇒ numerele a și b sunt de aceeași formă, fie 6n + 1, fie 6n - 1
Luăm cele două cazuri pe rând pentru a afla restul împărțirii lui a·b la 6
1) a = 6n + 1, b = 6m + 1
a · b = (6n + 1) · (6m + 1) = 36nm + 6n + 6m + 1 = 6 · (6nm + n + m) + 1
⇔ a · b este de forma 6k + 1 ⇒ restul împărțirii la 6 este 1
2) a = 6n - 1, b = 6m - 1
a · b = (6n - 1) · (6m - 1) = 36nm - 6n - 6m + 1 = 6 · (6nm - n - m) + 1
⇔ a · b este de forma 6k + 1 ⇒ restul împărțirii la 6 este 1
din 1) și 2) ⇒ restul împărțirii lui a·b la 6 este 1
Demonstrația faptului că orice număr prim > 3 este de forma 6n + 1 sau 6n - 1:
Orice număr întreg a poate fi scris sub forma 6n + k, unde k ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Cu alte cuvinte, orice număr întreg dă restul 0, 1, 2, ... sau 5 când îl împărțim la 6. Studiem cazurile posibile, ținând cont de faptul că noi căutăm forma generală a unor numere prime:
k = 0 ⇒ a = 6n + 0 = 6n ⇒ a nu poate fi număr prim
k = 1 ⇒ a = 6n + 1 ⇒ a poate fi număr prim
k = 2 ⇒ a = 6n + 2 = 2 (3n + 1) ⇒ a nu poate fi număr prim (excepție a = 2)
k = 3 ⇒ a = 6n + 3 = 3 (2n + 1) ⇒ a nu poate fi număr prim (excepție a = 3)
k = 4 ⇒ a = 6n + 4 = 2 (3n + 2) ⇒ a nu poate fi număr prim
k = 5 ⇒ a = 6n + 5 ⇒ a poate fi număr prim
⇒ doar pentru k = 1 și k = 5 putem obține numere prime (excepție numerele 2 și 3)
⇒ orice număr prim > 3 este de forma 6n + 1 sau 6n + 5
dar: 6n + 5 = 6 (n + 1) - 1 = 6m - 1
⇒ orice număr prim > 3 este de forma 6n + 1 sau 6n - 1
Evident, nu toate numerele de forma 6n±1 sunt prime, dar toate numerele prime sunt de forma 6n±1.