Question

Fie O punctul de intersectie al mediatoarelor laurilor congruente [AB] si [AC] ale triunghiului isoscel ABC. Aratati ca O apartine medianei [AM] a triunghiului ABC.

Answer 1

Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe segment în mijlocul său.

Notam picioarele mediatoarelor D pe AB si E pe AC.
Daca AB=AC⇒AB/2=AC/2
Daca OE si OD sunt mediatoare ⇒AD=DB si AE=EC

comparam ΔADO cu ΔAEO
AD=AE=AB/2=AC/2
AO latura comuna
<ODA=<OEA=90
Cf cazului de congruenta a Δdreptunghice :Cazul I.U. (ipotenuza-cateta)
=> ΔADO ≡ ΔAEO
⇒<DAO≡<OAE=> OA=bisectoarea unghiului A

Mediana reprezinta segmentul determinat de un varf al triunghiului și mijlocul laturii opuse.

Daca AM este mediana in Δisoscel ABC, si BM=MC,
pentru ca AB=AC⇒ <BAM=MAC ⇒AM=bisectoarea unghiului A

Daca si OA si MA sunt bisectoarele aceluiasi unghi , atuci O se afla pe dreapta AM.