Question

Fie p,q, prime intre ele si q ,s prime intre ele.Daca p patrat supra q patrat plus r patrat supra s patrat egal 1 ,arata ca s egal q.

Answer 1

Trebuie  puse  niste  conditii  initiale  p,q,r,s, ∈N*,  p<q  si  r.<s,  in  caz contrar,  fractiile  ar  fi  supraunitare  si  egalitatea  nu ar  fi  posibila.
pentru  cazul  cand q=s  se observa usor  , egalitatea
Presupun  q=/=s
In  egaliatea data  trecem  fractia(p/q)^2 in  dreapta.Se obtine
(r/s)^2=1-p^2/q²=>r/s=√(q²-p²)/q
Avem  2   posibilitati  :
-  q²-r²=  K²    unde  K∈N*,  in  acest caz vom  avea
r/s=k/q  =>s=q*r/k    r/k  este   un numar  natural,   pt  ca  si   s  este   numar   natural.Vom  nota  raportul  r/k==m ∈N. .ASadar  s=qm   .Fals  ,deoarece  s  si  q  sunt  nnumere  prime 
b)q²-r²=a²q ² =>r²=q²-a² q²   unde  a∈N
r=q*√(1-a²)  a=0  sau  1
Pt  a=0  =>r=q  ,  contravine  conditiilor  initiale  r<q
Pt  a=1  => r==0 contravine  conditiilor initiale  p,q  ,r s  numere  nenule

Demonstratia  se  poate  extinde  si  pt  p,q, r ,s  numere  intregi  dar  e  ceva  mai  dificila