Question

Fie paralelogramul ABCD,AEperpendicular BD,CGperpendicularBD,E,G∈(BD) si BHperpendicularAC,DFperpendicularAC,H,F∈(AC).Aratati ca este parallelogram:

a)AECG;

b)BHDF;

c)EFGH.

Answer 1

a) AE perpendicular pe BD
CG perpendicular pe BD        => AEIICG (ptr ca sunt perpendiculare pe aceeasi dreapta)

ΔADB≡ΔCBD (L.U.L.)
AD=BC
AB=CD
<A≡<C
(toate ptr ca ABCD paralelogram)
=> AE=CG (inaltimi omoloage in triunghiuri congruente)
Cum AEIICG                                                                => AECG paralelogram.

b)BH perpendicular pe AC
DF perpendicular pe AC      => BHIIDF

ΔADC≡ΔCBA (L.U.L.) =>
DF=BH (inaltimi omoloage in triunghiuri congruente)
Cum DFIIBH                                                        =>BHDF paralelogram.

c) Fie {O}=AC intersectat cu BD.
EO=OG, deaoarece ΔAEO≡ΔCGO (dreptunghice; AO=OC; AE=CG)
Analog:
FO=OH ,deoarece ΔDFO≡ΔBHO (dreptunghice; BO=OD; DF=BH)

Din amandoua => EFGH paralelogram, deaorece diagonalele sale se injumatatesc.