Question

Fie paralelogramul ABCD cu AB=12 cm . Pe semidreapta opusa semidreptei CD se ia punctul M,astfel incat MD=4 supra 3 CD si se noteaza cu N intersectiadreptelor BC si AM. Demonstrati ca ABCD este romb daca si numai daca BN=9 cm . Am nevoie

Answer 1

Relatia din ipoteza se mai scrie:

$\frac{MD}{CD} = \frac{4}{3}$, de unde:

$\frac{MD-CD}{CD} = \frac{4-3}{3}$, adica:

$\frac{MC}{CD} = \frac{1}{3}$

$\frac{MC}{12} = \frac{1}{3}$, deci:

MC=4 cm
MD=MC+CD=4+12=16 cm

Din CN || AD rezulta triunghiurile asemenea: ΔMCN≈ΔMDA, deci:

$\frac{MC}{MD} = \frac{CN}{AD}$

$\frac{4}{16} = \frac{CN}{AD}$, dar AD≡BC, deci:

$\frac{CN}{BC} = \frac{1}{4}$, de unde:

$\frac{CN}{BC-CN} = \frac{1}{4-1}$

$\frac{CN}{BN} = \frac{1}{3}$

"=>"
Daca ABCD este romb, inseamna ca AB=BC=12 cm, deci:

$\frac{CN}{12} = \frac{1}{4}$

CN=3 cm, iar
BN=BC-CN=12-3=9 cm

"<="
Daca BN=9 cm, din CM || AB rezulta triunghiurile asemenea ΔNCM≈ΔNBA, deci:

$\frac{CN}{BN} = \frac{MC}{AB}$

$\frac{CN}{9} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$, deci

CN=3 cm, iar BC=BN+CN=9+3=12 cm, deci

AB=BC, adica paralelogramul ABCD, avand doua laturi consecutive congruente, este romb.

c.c.t.d.