Matematică, întrebare adresată de nechitamagdale, 9 ani în urmă

Fie paralelogramul ABCD cu AB=12 cm . Pe semidreapta opusa semidreptei CD se ia punctul M,astfel incat MD=4 supra 3 CD si se noteaza cu N intersectiadreptelor BC si AM. Demonstrati ca ABCD este romb daca si numai daca BN=9 cm . Am nevoie

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de mariangel
12
Relatia din ipoteza se mai scrie:

 \frac{MD}{CD} = \frac{4}{3} , de unde:

 \frac{MD-CD}{CD} = \frac{4-3}{3} , adica:

 \frac{MC}{CD} = \frac{1}{3}

 \frac{MC}{12} = \frac{1}{3} , deci:

MC=4 cm
MD=MC+CD=4+12=16 cm

Din CN || AD rezulta triunghiurile asemenea: ΔMCN≈ΔMDA, deci:

 \frac{MC}{MD} = \frac{CN}{AD}

 \frac{4}{16} = \frac{CN}{AD} , dar AD≡BC, deci:

 \frac{CN}{BC} = \frac{1}{4}  , de unde:

 \frac{CN}{BC-CN} = \frac{1}{4-1}

 \frac{CN}{BN} = \frac{1}{3}

"=>"
Daca ABCD este romb, inseamna ca AB=BC=12 cm, deci:

 \frac{CN}{12} = \frac{1}{4}

CN=3 cm, iar
BN=BC-CN=12-3=9 cm

"<="
Daca BN=9 cm, din CM || AB rezulta triunghiurile asemenea ΔNCM≈ΔNBA, deci:

 \frac{CN}{BN} = \frac{MC}{AB}

 \frac{CN}{9} = \frac{4}{12}  = \frac{1}{3}  , deci

CN=3 cm, iar BC=BN+CN=9+3=12 cm, deci

AB=BC, adica paralelogramul ABCD, avand doua laturi consecutive congruente, este romb.

c.c.t.d.



Anexe:
Alte întrebări interesante