Question

Fie paralelogramul ABCD cu AD>AB. Bisectoarea unghiului A intersectează BC în G,iar bisectoarea lui B intersectează AD în H. Demonstrează că ABGH este romb

Answer 1

ABCD-paralelogram=>BCIIAD si ABIIDC
fie O=intersecta lui AG cu BH
consideram dreptele paralele AD si BC cu secanta AG=>
=> unghiurilrile alterne interne BGO si OAH sunt congruente
AG-bisectoare=>BAO=OAH=>BAO=BGO
deci, BGO=BAO
BO=BO
BH-bisectoare=>ABO=GBO
rezulta din toate 3 ca triunghiurile BOA si BOG sunt congruente=>
=>AB=BG si

AO=OG
AOH=BOG (opuse la varf)
OAH=OGB
rezulta din toate 3 ca trunghiurile BOG si AOH sunt congruente=>
=>BG=AH (1)
BCIIAD=>BGIIAH (2)
rezulta din (1) si (2) ca AHGB-paralelogram (3)
dar AB=GB (sunt laturi alaturate) (4)
rezulta din (3) si (4) AHGB-romb