Question

Fie paralelogramul ABCD iar DE si CE bisectoarele unghiurilor ADC si respectiv DCB .aflati
natura triunghiului DEC
perimetrul paralelogramului ABCD daca AD=26 cm si E apartine lui AB

Answer 1

Unghiurile opuse in paralelogram sunt congruente ⇒ m(∡A)=m(∡C)=x° si   m(∡B)=m(∡D)=y° (unde x°si y° sunt notatii ajutatoare).
Unghiurile alaturate in paralelogram sunt suplementare ⇒ m(∡D)+m(∡C)=180°⇒  
y°+x°=180° . Deoarece [DE si [CE sunt bisectoarele ∡ADC respectiv ∡DCB ⇒
m(∡EDC)=y°/2 si m(∡ECD)=x°/2 ⇒m(∡EDC)+m(∡ECD)=y°/2+x/°2=(x°+y°)/2=180°/2=
90° ⇒ in ΔDEC  m(∡DEC)=!80°- [m(∡EDC)+m(∡ECD)]=180°-90°=90° ⇒ ΔDEC este dreptunghic. Daca E∈AB atunci m(∡CDE)=m(∡AED)=y°/2 (fiind alterne interne) si 
m(∡DCE)=m(∡BEC)=x°/2 (fiind alterne interne) ⇒ ΔADE isoscel avand unghiurile de la baza DE congruente deci AD=AE=26cm si ΔCBE isoscel avand unghiurile de la baza CE congruente deci BC=BE=26cm. Perimetrul paralelogramului ABCD este egal cu 2AD+2AB=2·26+2·(26+26)=52+2·52=52+104=156cm.