Question

Fie paralelogramul ABCD si punctele E apartine (AB) , F apartine (CD) astfel ca [AE] congruent [CF].a) Demonstrati ca patrulaterul BEDF este paralelogram. b) Aratati ca punctele E,O,F sunt coliniare, unde {O} = AC intersectat BD

Answer 1

AE=CF, mai stim ca AB=CD, atunc AB-AE=CD-CF, adica BE=DF AB este paralel cu CD atunci si BE este paralel cu DF
Sa ne uitam la triunghiurile ADE si BCF, Observam ca ambele au doua laturi egale: AD=BC(laturi opuse paralelogram) AE=CF, si unghiurile $\angle{DAE}=\angle{BCF}$ pentru ca sunt unghiuri opuse in paralelogram. De aici rezulta ca cele doua triunghiuri sunt congruente LUL, deci DE=BF. Mai stim si ca sunt paralele, deci avem toate datele sa demonstram ca BEDF este paralelogram.

b) Uita-te la triunghiurile DOF si EOB. Stii deja ca O este intersectia diagonalelor in paralelogramul ABCD deci OD=OB (in paralelogram diagonalele se injumatatesc la intersectie)
Mai stii ca BE=DF, cum am demonstra inainte. Si mai stii ca BD este o secanta care intalneste dreptele paralele BE si DF, de unde rezulta ca unghiurile interne sunt egale $\angle{EBO}=\angle{ODF}$ Atunci avem un caz de congruenta LUL, de unde rezulta ca OE=OF. Dar daca cele doua segmente sunt egale, inseamna ca O este la mijlocul lui EF. Cum am demonstrat ca BDEF este paralelogram inseamna ca O este centrul diagonalelor(pentru ca se injumatatesc in O si diagonalele lui BDEF sunt EF si BD) asa ca E,O,F sunt coliniare si toate sunt pe segmentul EF