Question

Fie partatul ABCD , M mijlocul li BC , N simtricul lui D fata de M si P simetricul lui A fata de M . Aratati ca :
a) ANPD este dreptunghi
b) BNPC este patrat .

Answer 1

PUNCTUL A:

comparam triunghiurile ABM si DCM (fiind dreptunghice, iti trebuie doar 2 cazuri de congruenta, ele fiind AB = DC pentru ca este patrat ; BM = MC pentru ca M e mijlocul laturii BC) rezultand ca triunghiurile sunt congruente deci si laturile AM si DM sunt congruente.

AM si PM fiind simetrice si DM si NM sunt deasemenea simetrice rezulta ca ANPD este paralelogram; Avand si unghiul A de 90 de grade (pt. ca ABCD este patrat) rezulta ca ANPD este dreptunghi (pentru ca trebuia sa demonstrezi ca ANPD este un paralelogram cu un unghi drept).


PUNCTUL B:
Avand AD paralel cu BC (deoarece ABCD este patrat) si AD paralel cu NP pentru ca ANPD este dreptunghi) rezulta ca BC paralel cu NP.
AD = BC (ABCD - patrat) si AD = NP (ANPD - dreptunghi) rezulta ca BC = NP.
Din ambele situatii ( BC paralel cu NP si BC = NP) rezulta ca BNCP este paralelogram (am aratat ca are 2 laturi opuse congruente si paralele).
AD perpendicular pe DP (ANPD - dreptunghi) si AD paralel cu BC (ABCD - patrat) rezulta ca BC perpendicular pe DP; NP perpendicular pe PD (ANPD -- dreptunghi) si PN perpendicular pe AN (ANPD - paralelogram) din toate rezulta (NP perpendicular pe PD; PN perpendicular pe AN; BC perpendicular pe DP; BNPC - paralelogram) ca BNPC este patrat.

Sper ca te-a ajutat.