Question

Fie patratul ABCD,cu diagonala AC=8radical din 2cm.Daca M este mijlocul laturii BC si AC intersecteaza DM in punctul {P}.Sa se afle lungimile segmentelor [AP] si [CP].Repede pls!

Answer 1

Din teorema lui Pitagora putem afla latura patratului. Stim ca toate laturile unui patrat sunt egale AB=BC=CD=AD=l atunci
$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=l^{2}+l^{2}=2l^{2}=8^{2}*2\Rightarrow l=8$
Ne uitam la trunghiurile formate APD si PMC. AC actioneaza ca o bisectoare in patrat deci imparte unghiurile drepte in unghiuri de 45 grade, deci stim ca
$\angle{DAP}=\angle{PCM}=45$
Si dreptele AC si DM se intersecteaza in P, atunci unghiurile formate in P sunt opuse la varf si congruente
$\angle{APD}=\angle{MPC}$
daca 2 cate 2 unghiuri sunt congruente, inseamna ca si ultimul din fiecare este congruente si inseamna ca triunghiurile APD si PMC sunt asemenea. M este mijlocul lui BC, asadar $MC=\frac{BC}{2}=\frac{l}{2}$
Laturile a doua triunghiuri asemenea sunt proportionale asadar
$\frac{AD}{MC}=\frac{AP}{CP}=\frac{l}{\frac{l}{2}}=2\Rightarrow AP=2CP$
dar AP si CP formeaza impreuna diagonala AC
$AP+CP=2CP+CP=3CP=AC\Rightarrow CP=\frac{AC}{3}=\frac{8\sqr{2}}{3}$
Iar AP este $AP=2CP=\frac{16\sqrt{2}}{3}$