Question

Fie patratul ABCD cu latura de 10 cm.Punctul E apartine laturii CD,astfel incit $\frac{CE}{ED}=0,5.$Aflati distanta dintre punctul C si dreapta AE.

Answer 1

Ai desenul atasat. Construim CF perpendicular pe AE.

$\frac{CE}{ED}$=0,5 adica:

$\frac{CE}{ED}$=$\frac{5}{10}$

$\frac{CE}{ED}$=$\frac{1}{2}$ si folosim proprietatile de la proportii:

$\frac{CE}{CE+ED}$=$\frac{1}{1+2}$

$\frac{CE}{CD}$=$\frac{1}{3}$

$\frac{CE}{10}$=$\frac{1}{3}$ deci:

CE=$\frac{10}{3}$ cm, iar

ED=10 - $\frac{10}{3}$

ED=$\frac{20}{3}$

Observam ca in ΔCFE si ΔADE avem unghiurile <(CEF)≡<(AED) ca unghiuri opuse la varf, iar m(<ADE)=m(<CFE)=90 grade, deci
ΔCFE ≈ ΔADE  (cazul U.U.) si avem rapoartele egale:

$\frac{CF}{AD} = \frac{CE}{AE}$, unde

AD=10 cm
CE=$\frac{10}{3}$ cm

AE il calculam cu Teorema lui Pitagora in triunghiul ADE dreptunghic:

$AE^{2} = AD^{2} + ED^{2}$

$AE^{2} = 10^{2} + ( \frac{20}{3} )^{2}$

$AE^{2} = 100 + \frac{400}{9}$

$AE^{2} = \frac{1300}{9}$

AE=$\frac{10 \sqrt{13} }{3}$ cm, deci revenim in relatia de mai sus:

CF=$\frac{AD*CE}{AE}$

CF=$\frac{10* \frac{10}{3} }{ \frac{10 \sqrt{13} }{3} }$

CF=$\frac{10}{ \sqrt{13} }$

CF=$\frac{10 \sqrt{13} }{13}$  cm