Question

Fie patratul ABCD si triunghiul echilateral BCE astfel incât AB=12cm .Sa se afle masura unghiului AED si aria triunghului AED...Am facut desenul.Ms!

Answer 1

Daca triunghiul BCE este echilateral, asta inseamna 2 lucruri
1) Toate laturile sunt congruente $BC=BE=CE$
2) Toate unghiurile sunt congruente$\angle{BCE}=\angle{BEC}=\angle{EBC}=60$
Dar intr-un patrat stim ca toate laturile sunt congruente si toate unghiurile sunt egale cu 90 de grade
1)$AB=BC=CD=DA$ si
2)$\angle{ABC}=\angle{BCD}=90$
Din relatia 1) de la fiecare serie, rezulta ca
$AB=BE$ de unde rezulta ca triunghiul ABE este isoscel
$CD=CE$ de unde rezulta ca triunghiul CDE este isoscel
dar stim ca BE=CE(laturi conguente triunghi echilateral atunci)
$AB=BE=CE=CD$ deci avem 2 cate 2 laturi congruente
Si acum sa ne uitam si la unghiul dintre aceste laturi
Avem: $\angle{ABE}=\angle{ABC}+\angle{EBC}=90+60=150$
           $\angle{CDE}=\angle{BCD}+\angle{ECB}=90+60=150$ 
          deci si unghiul dintre ele este congruent: asta inseamna ca triunghiurile ABE si CDE sunt congruente dupa un caz LUL(latura unghi latura) de unde rezulta ca si ultimile lature din ambele triunghiuri sunt congruente adica AE=DE. rezulta de-aici ca triunghiul AED este isoscel
Rezulta ca si celelalte unghiuri sunt congruente adica
$\angle{BEA}=\angle{CED}$
Stim ca triunghiu ABE este isoscel, asadar are unghiurile congruente
$\angle{BEA}=\angle{EBA}$
Si atunci suma unghiurilor din triunghiul ABE
$\angle{BEA}+\angle{EBA}+\angle{ABE}=180\Rightarrow 2\angle{BEA}=180-\angle{ABE}=180-150=30\Rightarrow \angle{BEA}=\frac{1}{2}30=15$
Atunci putem scrie suma tuturor unghiurilor ce formeaza unghiul BEC
$\angle{BEA}+\angle{AED}+\angle{CED}=\angle{BEC}=60\Rightarrow 2\angle{BEA}+\angle{AED}=60\Rightarrow \angle{AED}=60-2*15=60=30=30$ deci AED are 30 de grade
b) Ducem perpendiculara EM pe latura BC. atunci EM este inaltime in triunghi echilateral, ceea ce inseamna ca EM este si mediana. deci M este mijlocul lui BC.
Ducem si inaltimea din triunghiul EAD in punctul N, EN care este inaltime in triunghi isoscel deci deci si EN este mediana in triunghiul EAD, N este mijlocul lui AD.
EM perpendiculara pe BC
EN perpendiculara pe AD
BC paralel cu AD
Din aceste trei relatii rezulta ca EM si EN sunt fie paralele fie coliniare. Dar pentru ca au un punct comun, inseamna ca EM si EN sunt coliniare, adica punctele E,M,N sunt coliniare si
$EN=EM+MN$
EM este inaltime in triunghi echilateral, si are formula
$EM=\frac{\sqrt{3}}{2}BC$
MN uneste mijloacele laturilor BC si AD, adica este linie mijlocie in patrat, de unde rezulta ca
$MN=AB=BC$
Atunci
$EN=\frac{\sqrt{3}}{2}BC+BC=BC(1+<span>\frac{\sqrt{3}}{2}</span>)$
Si atunci putem afla aria triunghiului
$A_{AED}=\frac{EN*BC}{2}=\frac{(1+\frac{\sqrt{3}}{2})*BC*BC}{2}=144*(2+\sqrt{3})$