Question

FIE PATRATUL,M mijlocul lui [BC],N simetricul lui D fata de M si P simetricul lui A fata de M.
Arătați ca:
a) ANPD este dreptunghi
b)BNPC este patrat

Answer 1

AM=MP
DM=MN
in ANPD diagonalele se injumatatesc => ANPD e paralelogram

ΔABM=ΔDCM  (CC) 
deoarece sunt dreptungice si au  AB=CD (din ip)
si BM=MC (din ip)
=>DM=AM
=>AP=2AM=2DM=DN
diagonalele sunt egale
=> ANPD este dreptunghi

Answer 2

a) AM≡MP ( ipoteza, P simetriclui A fata de M)
DM≡MN ( ipoteza, N simetriclui D fata de M)
⇒ANPD  , patrulater cu diagonale care se injumatatesc ANPD paralelogram
 mas DAB= 90° ( ipoteza ABCD patrat)⇒ANPDparalelogram cu un unghi drept, ANPD dreptunghi, cerinta

b)ANPD dreptunghi (pct a0)⇒PN≡si ||AD
Dar AD≡si || BC(ABCD patrat) ⇒PN≡si||BC⇒BNPC  paralelogram

mas∡(ABC)=90°⇒mas ∡(CBN)=180°=90=90°⇒BNPC paralelogram cu un unghi drept BNPC dreptunghi

 MB||PN, M mij;locBC⇒MB linie mijlocie ΔANP⇒AB≡BN
dar AB≡BC ( ABCD patrat , ipoteza)⇒BN≡BC, BNCP dreptunghi cu 2 laturi succesive congruente, BNCP , patrat, cerinta