Question

Fie polinomul f= x^3+ax^2-ax-4, f ∈ R[X] , sa se determine a ∈ Z pentru care polinomul f are o rădăcină rațională pozitivă.

Answer 1

Din relațiile lui Viète pentru polinomul de gradul 3 de forma $f=ax^3+bx^2+cx+d$, știm că produsul rădăcinilor, adică $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3=- \dfrac{d}{a}$.

În cazul nostru:

$x_1 \cdot x_2 \cdot x_3=- \dfrac{-4}{1}=4$

Deci, dacă există o rădăcină rațională (chiar întreagă, deoarece a=1, iar coeficienții polinomului $\in \mathbb{Z}$), va fi un divizor al lui 4.

Divizorii pozitivi ai lui 4 sunt $D_{4^+}=\{1,2,4\}$, așa că rădăcinile pozitive posibile vor face parte din această mulțime. Le luăm pe fiecare pe rând, le înlocuim în polinom și egalăm cu 0, de unde scoatem valoarea lui $a$ pentru fiecare rădăcină.

$f(1)=0 \Leftrightarrow 1^3+a \cdot 1^2-a \cdot 1-4=0 \Rightarrow a-a=3 \Leftrightarrow 0=3$

Ne dă o contradicție, de unde deducem că nu există $a$ pentru care polinomul ia valoarea 1.

Repetăm procesul pentru cele două rădăcini posibile rămase.

[tex]f(2)=0 \Leftrightarrow 2^3+a \cdot 2^2-a\cdot 2-4=0 \Leftrightarrow a=-2 \in \mathbb{Z}\\\\ f(4)=0 \Leftrightarrow 4^3+a \cdot 4^2-a\cdot 4-4=0 \Leftrightarrow a=-5 \in \mathbb{Z}[/tex]

Deci, singurele valori posibile pentru $a$ vor fi -5 și -2.

$a\in \{-5;-2\}$