Question

Fie polinomul F=x^3+x+1.Aratati ca este ireductibil in Q[X]

Answer 1

F este ireductibil pe Q[x] daca nu exista nicio radacina de forma $\frac{p}{q}$ unde p divide coeficientu lui $x^{3}$ si q divide coeficientu lui $x^{0}$ asta in cazul tau

deci avem coeficientu lui $x^{3}$ = 1 si coeficientu lui $x^{0}$ = 1

=> p | 1 => p∈{-1;1}
=> q | 1 => q∈{-1;1}


$F( \frac{1}{1} )= F(1)= 1^{3} +1 +1=3 \neq 0 \\ F( \frac{1}{-1} )=F(-1)= (-1)^{3} -1+1=-1 \neq 0 \\ F( \frac{-1}{1} )=F(-1) \neq 0 \\ F( \frac{-1}{-1} )=F(1) \neq 0$

deci nu exista nici o radacina de forma $\frac{p}{q}$  => F ireductibil pe Q[x]