Question

Fie polinomul f=X$x^{3} +a x^{2} +x+1$,f∈R[X].

a) pentru a=1, determinati radacinile polinomului f
b) determinati valorile lui a ∈ Z pentru care polinomul are cel putin o radacina intreaga

daca m-ati putea ajuta as fi recunoscator :D

Answer 1

$\displaystyle a)~Pentru~a=1,~avem~f=X^3+X^2+X+1.. \\ \\ x^3+x^2+x+1=0 \Leftrightarrow x^2(x+1)+(x+1)=0 \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow (x+1)(x^2+1)=0. \\ \\ Deci~radacinile~polinomului~sunt~-1,-i,i. \\ \\ *Observatie:~Cum~x \neq 1,~avem~x^3+x^2+x+1= \frac{x^4-1}{x-1}. \\ \\ b)~Daca~un~polinom~cu~coeficienti~intregi~admite~o~radacina \\ \\ intreaga,~atunci~aceasta~este~un~divizor~al~coeficientului~liber. \\ \\ Deci~radacinile~intregi~pot~fi~1~sau~-1.$
$\displaystyle i)~1~este~radacina \Rightarrow f(1)=0 \Leftrightarrow a+3=0 \Rightarrow a=-3. \\ \\ ii)~-1~este~radacina \Rightarrow f(-1)=0 \Leftrightarrow a-1=0 \Rightarrow a=1. \\ \\ \dots \\ \\ Verificare:~a=1~a~fost~verificat~la~punctul~anterior,~iar~pentru \\ \\ a=-3~avem~f=X^3-3X^2+X+1,~care~admite~intr-adevar~ \\ \\ radacina~1.$ 

Answer 2

a)

[tex]\it a = 1 \Rightarrow f(x) = x^3+x^2+x+1 =x^2(x+1) +(x+1) = \\\;\\ =(x+1)(x^2+1)[/tex]

[tex]\it f(x) =0 \Rightarrow (x+1)(x^2+1)=0 \Rightarrow \begin{cases}\it x+1 = 0\Rightarrow x = -1 \\\;\\ \it x^2+1=0 \Rightarrow x = \pm i \end{cases}[/tex]

b)

Rădădcinile  întregi ale polinomului  sunt divizori ai termenului liber.

În cazul nostru putem avea rădăcinile întregi -1 sau 1.

x = -1  ⇒ f(-1) =0 ⇒ (-1)³ +a·(-1)² + (-1) + 1 = 0 ⇒ -1 +a  -1+1 = 0⇒
⇒ a = 1

x = 1  ⇒ f(-1) =0 ⇒ 1³ +a·1² + 1 + 1 = 0 ⇒ 1 + a  +1 + 1 = 0 ⇒

⇒ a = -3