Question

Fie polinomul f=X³-X²+X+a, f∈R[X].
a)Calculaţi f(1)-bifat
b)Dacă a=-1, determinați x1,x2,x3-bifat.

În schimb subpunctul c) sună cam așa:
c)Demonstrați că polinomul f are o singură rădăcină reală, pentru orice număr real a.

Answer 1

Fie $f(x)=x^3-x^2+x+a$.

Avem nevoie pentru început de intervalele de monotonie, motiv pentru care calculăm derivata de ordinul 1.

$f'(x)=(x^3-x^2+x+a)'=3x^2-2x+1$

Egalând-o cu 0, vom observa că $\Delta\ \textless \ 0$, ceea ce înseamnă că derivata va fi mereu pozitivă (conform semnului funcției de gradul al II-lea).

Dacă derivata de ordinul 1 este pozitivă pe $\mathbb{R}$, înseamnă că funcția este strict crescătoare.

În plus:

$\lim_{x \to -\infty} f(x)=-\infty$ (deoarece termenul dominant, sau cel cu coeficientul cel mai mare, va fi cel care determină semnul limitei, mai exact $(-\infty)^3=-\infty$)

Iar:

$\lim_{x \to \infty} f(x)= \infty$

(Dacă ai nevoie de o explicație mai detaliată pentru calculul acestor limite, spune-mi)

Acum că am stabilit aceste aspecte, și anume faptul că funcția este strict crescătoare, limita spre minus infinit dă minus infinit iar limita spre plus infinit dă plus infinit, poți trage concluzia că are o singură soluție reală.

Imaginează-ți graficul acestei funcții strict crescătoare. Pleacă de la $-\infty$ se îndreaptă spre $+\infty$. Este evident că are o singură soluție (rădăcină), deoarece graficul va intersecta axa Ox într-un singur punct. 

Answer 2

fie f(x)= X³-X²+X+a
lim cand x->infinit din f(x) =infinit
 lim candx->-infinit= -infinit
f(x) functie polinomiala, elementara, continua
deci f(x) surjectiva pe R (1)

f'(x) =3x²-2x+1
Δptecuatia asociata =4-12=-8<0
deci f'(x) are semnuil luia=3, adica ++++++++++++ pe tot R
deci f(x) strict crescatoare pe R, deci  injectiva (2)
din (1) si (2)⇒f(x) bijectiva pe R deci ia orice valoare din R o data si numai o data
in particular si valoarea 0 o valua o singura data si doar o data, ptcare exista un singur x, adica o singura radacina reala
(celelalte 2 sunt complexe)

Echivalent
Graficul unei functii strict crescatoarede la-∞la +∞ va intersecta O DATA si DOAR O DATA axa Ox;