Question

Fie polinomul P(x) = x³-3x²-x+3.

a) dacă Q(x) =2x+1, sa se determine P(Q(x)) ;
b) sa se arate ca pentru orice număr întreg x, P(Q(x)) se divide cu 16;
c) exista numere întregi x astfel încât P(Q(x)) sa se divida cu 32?

Answer 1

pentru un calcul mai eficient grupam termenii
P=x^2(x-3)-(x-3)= (x^2-1)(x-3)=(x+1)(x-1)(x-3)
P(Q(x))=(Q-1)(Q+1)(Q-3)=(2x+2)(2x)(2x-2)=8(x-1)*x*x+1)
 se observa ca avem un produs de 3 numere intregi consecutive, deci sigur macar unul este par  deci de forma 2k
atunci P(Q(x))=8*2*(k*restul produsului), care sigur se divide cu 8*2=16

daca x este impar, atunci x-1 si x+1 sunt pare, deci de forma 2k si 2p, iar numarul P(Q(x))=8*2*2(k*p*restul produsului)=32*(k*p*restul produsului), care este divizibil cu 32.

Answer 2

$\it a) ~Avem~P(x) = x(x^2-1)-3(x^2-1)=(x-3)~(x-1)~(x+1),~deci~P(Q(x))=(Q(x)-3)~(Q(x)-1)~(Q(x)+1)~adica~P(Q)(x))=8x~(x-1)~(x+1).$
b) Deoarece x(x + 1) se divide cu 2 pentru orice x∈Z, rezulta ca P(Q(x)) se divide cu 16 pentru orice x∈Z.
c) Observam ca P(Q(1)) = 0, deci P(Q1)) se divide prin 32. Mai mult, se poate arata ca P(Q(x)) se divide cu 32 pentru orice x∈Z, x impar.