Fie prisma hexagonala regulata ABCDEFA'B'C'D'E'F' cu muchia bazei AB=12cm și înălțimea AA'= 12√3cm. Notăm cu N mijlocul muchiei CC'.
a.) Demonstrați că dreptele BF' și ND sunt perpendiculare.
b.) Aflați distanta dintre punctele BF' și ND.
Este o problema mai veche ,dar sunt curioasa de rezolvare. Am rezolvat-o cu greu și vreau să văd daca sunt mai multe metode. Mulțumesc de ajutor!
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
a) Încadrăm dreptele BF' și ND în plane convenabile pentru a demonstra perpendicularitatea. Vom arăta ca BF' ⊥ pe planul care o conține pe ND, prin urmare BF' ⊥ ND.
Considerăm planele BFF'B' și ADNM.
Notăm cu O punctul FB ∩ AD
Δ FAB isoscel și AO bisectoare ⇒ AO înălțime și mediană
m(∡AFO) = 90° - 60° = 30°
⇒ FO = 12 * cos 30° = 6√3
⇒ FB = 12√3
BB' ⊥ BF, BF ≡ B'F', BB' ≡ FF', BB' ≡ BF ⇒ BFF'B' este un pătrat
notăm cu M mijlocul laturii BB'
punctele M și O ∈ planelor BFF'B' si AMND ⇒ BFF'B' ∩ AMND = MO
cum OB ≡ MB (= 6√3) ⇒ OM║FB'
într-un pătrat diagonalele sunt perpendiculare, adica F'B ⊥ FB'
⇒ F'B ⊥ MO
MO fiind dreapta de intersecție a celor două plane ⇒ F'B ⊥ planul AMND
cum ND ∈ planului AMND
⇒ F'B ⊥ ND
b)
notăm cu Q punctul în care BF' ⊥ MO
distanța dintre BF' și MO este lungimea segmentului QP, unde QP ⊥ ND
știm de la punctul a) că OB = BM = 6√3 și AO =6
Δ BOM dreptunghic ⇒ OM² = 36*3 + 36*3 = 36*6
OM = 6√6
Δ ABM dreptunghic ⇒ AM² = 36*3 + 12*12 = 36*7
AM = 6√7
în Δ AOM se verifică relația lui Pitagora
AM² = OM² + AO² = 36*7 ⇒ Δ AOM dreptunghic
construim OP ⊥ ND si MT ⊥ ND
se formează 3 triunghiuri asemenea, cazul UUU
Δ AMO ~ Δ NMT ~ Δ DOR
din raporturile de asemănare aflăm lungimile MT și OR
MA / MN = MO / MT
6√7 / 12 = 6√6 / MT
MT = 12√6 / √7
și
MA / OD = MO / OR
6√7 / 18 = 6√6 / OR
OR = 18√6 / √7
MT ║ OR ⇒ patrulaterul MTRO este trapez
F'B ⊥ OM și Δ BOM isoscel ⇒ MQ ≡ QO ⇔ QR linia mijlocie în trapez
deci QR = MT / 2 + OR / 2
QR = 6√6 / √7 + 9√6 / √7 = 15√6 / √7
QR = 15√42 / 7
Explicație pas cu pas:
nu e greu, dar e laborios... sper sa nu fi gresit la calcule :)
