Question

fie progresia aritmetica a2=-12, a3= -9. Determinati n e N* astfel incat suma primilor n termeni sa fie zero.

Answer 1

Progresie aritmetrică

O progresie aritmetică este un șir de numere în care fiecare termen, începând cu al doilea, se obține din cel precedent prin adăugarea unei constante, numite rația progresiei (diferența dintre doi termeni consecutivi este constantă)

       $a_{n} = a_{n - 1} + r, \ \ n\geq 2$

       $a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r$

       $S_{n} = \dfrac{(a_{1} + a_{n})\cdot n}{2}; \ \ \ \ S_{n} = \dfrac{2a_{1} + (n - 1)\cdot r}{2} \cdot n$

→ rația progresiei aritmetice este:

$r = a_{3} - a_{2} = -9 - (-12) = -9 + 12 \implies \bf r = 3$

→ primul termen este:

$a_{1} = a_{2} - r = -12 - 3 \implies \bf a_{1} = - 15$

→ suma primilor n termeni este:

$\dfrac{2 \cdot (-15) + (n - 1)\cdot 3}{2} \cdot n = 0 \iff \Big[-30 + (n - 1)\cdot 3\Big]\cdot n = 0$

$n \neq 0 \iff -30 + (n - 1)\cdot 3 = 0$

$-30 + 3n - 3 = 0 \iff 3n = 33 \ \ \Big|: 3$

$\implies \bf n = 11$

⇒ pentru n = 11, suma primilor n termeni este zero