Question

Fie punctele M, și respectiv, N mijlacele laturilor [AB] și [AC] ale unui triunghi ABC, punctul D simetricul punctului C față de M și E simetricul punctului B față de N. Demonstrați că : a) punctele A,D,E sunt coliniare; b) DE=2BC; c) dacă Perimetrul ABC=15cm și Perimetrul BDEC=27 cm, atunci BC=6 cm.

Answer 1

deseneaza mai intai figura asa cu inti explic pentru a putea vorbi despre aceleasi laturi si unghiuri. in mijocul paginii desenzi un triunghi cu varful superior A, stanga jos B si dreapta jos C. Din B duci o drepta prin mijlocul  laturii AC, punctul N si o prelungesti cu o distanta egala cu BN, obtininad segmentul de dreapta NE, (E fiind simetricul lui B fata de N). Acelasi lucru faci si din C trecand prin mijlocul laturii AM, prin punctul M o dreapta care se prelungeste dincolo de M cu o distanta egala cu CN, obtinind punctul D care este simetricul lui C fata de M rezultand CM=DM.
Pana acum avem urmatoarele egalitati:
AN=NC si AM=MB comform ipotenuzei M si N fiind mijlocul laturilor AB si AC. mai avem de asemenea ca urmare a punctelor simetrice trasate BN=NE si CM=MD. pentru a demonstra ca punctele DAE sunt coliniare va trebui sa demonstram ca segmentul DE (pe care te rog sa l trasezi si daca nu cuprinde si punctul A astase datoreaza modului in care ai desenat figura) care l contine si punct A , este paralel cu cu BC. sunt mai multe cai de rezolvare eu ti o prezint pe una dintre ele. astfel vom lua in considerare triunghiurile ANE si BNC si vom demonstra ca acestea sunt congruente si ca unghiurile AEN si NBC sunt congruente. Daca cele doua unghiuri vor fi congruente atunci avand invedere pozitia lor fata de dreapta BE care intersecteaza dreapta BC si AE,  acestea sunt alterne interne si prin urmare dreapta AE║BC.
Deci pentru a arata ca cele doua triunghiuri sunt congruente ne folosim de teoremele de congruenta, astfel uitandune la cele doua triunghiuri ANE si BNC se poate observa ca unghiurile din N ale celor doua triungiuri sunt congruente deoarece sunt unghiuri la varf ale celor doua drepte concurente AC si BE. Deci ∠ANE≡∠BNC. de asemenea BN=NE ca urmare a simetriei punctelor B si E fata de N, Deci mai avem si doua laturi congruente. ne mai trebuie una si se verifica teorema congruenteu LUL. celelalte doua laturi congruente sunt AN si NC doeatece N este mijlocul lui AC.in cazul a doau triunghiuri congruente laturilor egale si se opun unghiuri egale. laturii AN si se opune unghiu AEN iar laturii NC i se opune unghiul NBC. intrucat NC=AN rezulta si ca AEN≡NBC. aceste unghiuri aunt alterne interne fata de dreapta BE care intersecteaza AE si BC/ procedanduse la fel si pentru triunghiuri AMD si MBC  vom vedea ca si DA ║ BC .avand in vedere ca punctul A apartine AD si AE care sunt paralele cu BC ⇒rezulta ca cele 3 puncte sunt coliniare.
b) ca DE =2BC. Din congruentele demonstrate pana acum (daca ai facut similar si pentru cele doua triunghiuri despre care am vorbit se vavedea ca DA=BC si AE=BC⇒DA=AE  deci AE=2BC.
c) pentru a demonstra ca BC=6 trebuie sa aratam cazurile de congruenta ale triunghiurilor ENC si AND de unde rezulta ca EC=AB similar si pentru triunghiurile anc si DNB  de unde va rezulta ca AC=DM.
Acum, daca din perimetrul trapezului DBCE scadem perimetru ABC vom observa ca rezultatul 27-15 reprezinta latura DE. (cum? pai latura BC apartine amandurora corpuri si prin urmare se anuleaza, latura DB=AC, se anuleaza si acestea iar latura EC=AB cere si acestea se anuleaza. A mai ramas latura DE . Cum DE=2BC ⇒BC=DE/2, BC=12/2M BC=6. SPRE CA TE AM AJUTAT