Question

Fie punctul E situat pe latura AB a dreptunghiului ABCD și punctul F situat pe prelungirea laturii CD, ca în desenul de mai jos. Fie {G} = AD intersectat BF și {H} = DE intersectat BC. Demonstrați că GE || FH ☹​.

Answer 1

• Pentru a putea demonstra ca GE || FH, fara a avea alte date, ne raportam la Reciproca Theoremei lui Thales

• Fie {P}=DH∩GF

AD║BC (latimi in dreptunghi)⇒

AG║BH (prelungiri ale latimilor)⇒

ΔPGD ~ ΔPBH⇒

$\frac{PG}{PB}=\frac{PD}{PH}=\frac{DG}{BH}$   ⇒

PB×PD=PG×PH

AB║DC (lungimi in dreptunghi)⇒

EB║DF (prelungiri ale lungimilor)⇒

ΔPEB~ΔPDF⇒

$\frac{PE}{PD} =\frac{PB}{PF} =\frac{EB}{DF}$⇒

PD×PB=PE×PF

• Deci vom avea:

PB×PD=PG×PH

PD×PB=PE×PF

• Din cele 2 observam ca PG×PH=PE×PF, adica

$\frac{PG}{PE} =\frac{PF}{PH}$⇒ Reciproca Teoremei lui Thales ca GE║FH