Question

Fie S= 1 + 3 + 3² + 3³ + ...+ 3 la puterea 80
a) Aratati ca S este divizibila cu 13
b) Demonstrati ca 2S>27 la puterea 27 si aceasta putere - 9
am mare nevoie la b)

Answer 1

1+3+3²=13 si numarul de termeni ai sumei este 81 care se imparte la3, deci putem grupa termenii sumei cate trei.
S=(1+3+3²)+3³(1+3+3²)+...+3^78(1+3+3²)=(1+3+3²)(1+3³+...3^78) care e dibizibil cu 13.
b)Avem suma termenilor unei progresii geometrice de ratie q=3 si primul termen b1=1.
S=1·(3^81-1)/(3-1)=(3^81-1)/2  I ·2⇔2·S=3^81-1
Deci 2·S>27⇔3^81-1>27⇔3^81>28-evident