Question

Fie S=2⁰+2¹+2²+2³+...+2⁹⁹.
a) Demonstrați că S se împarte exact la 15.
b)Arătaţi că S are cel puțin 30 de cifre.
VĂ ROG!!DAU COROANĂ ȘI 18 PUNCTE!!URGENT!!​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

S = 2⁰+2¹+2²+2³+...+2⁹⁹

a) 2⁰+2¹+2²+2³+...+2⁹⁹  

Observăm  faptul că :

2⁰+2¹+2²+2³ = 1+2+4+8 = 15

scriem mai detaliat S-ul, adica ce s-a dat

(2⁰+2¹+2²+2³)+(2⁴+2⁵+2⁶+2⁷)+...+($2^{92}$+$2^{93}+2^{94}+2^{95}$)+(2⁹⁶+2⁹⁷+2⁹⁸+2⁹⁹)

=> observare, avem factori comuni , nu le-am mai scris pe toate, ca nu mai are rost, doar sa se vada de unde am pornit si unde ajungem

= 2⁰·(2⁰+2¹+2²+2³)+2⁴·(2⁰+2¹+2²+2³)+...+$2^{92}$·(2⁰+2¹+2²+2³)+2⁹⁶·(2⁰+2¹+2²+2³)

observam ca in paranteze am obtinut aceleasi cifre, care mai sus calculat ne-a dat 15

ne intoarcem si inlocuim fiecare paranteza cu 15

2⁰·15+2⁴·15+...+$2^{92}$·15+2⁹⁶·15= (2⁰+2⁴+...+2⁹⁶)·15

observam ca toata ecuatia se poate inmulti cu 15, de aici rezulta ca S se si imparte exact la15

b) S = 2⁰+2¹+2²+2³+...+2⁹⁹

2S = 2¹+2²+2³+...+2⁹⁹+2¹⁰⁰

 2S - S = (2¹+2²+2³+...+2⁹⁹+2¹⁰⁰) - (2⁰+2¹+2²+2³+...+2⁹⁹)  

 S = 2¹⁰⁰ - 2⁰

 S = 2¹⁰⁰ - 1

 Observăm faptul că 2¹⁰ = 1024 > 1000

S = (2¹⁰)¹⁰ - 1 = 1024¹⁰ - 1 > 1000¹⁰ - 1 = (10³)¹⁰ - 1 =

= 10³⁰-1 = 1000...000 (30 de  bucati  de 9) - 1 = 9999...9999 (30 de  bucati  de 9)

 S are cel puțin 30 de cifre

sper ca te-am ajutat :)