Question

Fie S= 2 la puterea 0 + 2 la puterea 1 + 2 la puterea 2 + 2 la puterea 3 +...+ 2 la puterea 99.
a) Demonstrati ca S este divizibil cu 15.
b) Aratati ca S are cel putin 30 de cifre.

Answer 1

Explicație pas cu pas:

S = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2⁹⁹

a)  puterile lui 2 sunt numerele consecutive de la 0 la 99 ⇒

⇒ suma are 100 de termeni

grupăm termenii câte 4 și dăm factor comun puterea cea mai mică (100 de termeni vor forma 25 de grupe):

S = (2⁰ + 2¹ + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷) + ... + (2⁹⁶ + 2⁹⁷ + 2⁹⁸ + 2⁹⁹)

S = 2⁰ · (2⁰ + 2¹ + 2² + 2³) + 2⁴ · (2⁰ + 2¹ + 2² + 2³) + ... + 2⁹⁶ · (2⁰ + 2¹ + 2² + 2³)

S = (2⁰ + 2¹ + 2² + 2³) · (2⁰ + 2⁴ + ... 2⁹⁶)

S = (1 + 2 + 4 + 8) · (2⁰ + 2⁴ + ... 2⁹⁶)

S = 15 · (2⁰ + 2⁴ + ... 2⁹⁶)

⇒ S divizibil cu 15

b)

S = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2⁹⁹  | ·2

2 · S = 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2¹⁰⁰   scădem relațiile

2S - S = 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2¹⁰⁰ - 2⁰ - 2¹ - 2² - 2³ - ... - 2⁹⁹

S = 2¹⁰⁰ - 2⁰ = 2¹⁰⁰ - 1

2¹⁰⁰ = (2¹⁰)¹⁰ = 1024¹⁰

1024¹⁰ > 1000¹⁰

⇒ 1024¹⁰ - 1 > 1000¹⁰ - 1

1000¹⁰ = (10³)¹⁰ = 10³⁰ are 31 de cifre (1 urmat de 30 de 0)

⇒ 1000¹⁰ - 1 = 10³⁰ - 1 = 99...9 (30 de cifre de 9)

⇒ 1024¹⁰ - 1 > 99...9 (30 de cifre de 9)

⇒ S are cel puțin 30 de cifre