Question

Fie S suma a doua numere naturale nenule si P produsul lor. Daca S/P atunci S nu poate fi produsul a doua numere prime diferite.

Answer 1

Atunci cand vrem sa demonstram ceva, presupunem ca nu este asa:

Presupunem ca exista doua numere prime diferite a, b pentru care S | P
a + b | ab

Daca ambele sunt impare, atunci a + b este par, iar produsul P este impar 
Un numar impar nu poate avea ca divizor un numar par ==> nu pot fii ambele impare ==> cel putin unul dintre ele este par

Cum singurul numar par si prim este 2, iarnumerele trebuie sa fie distincte, atunci cu siguranta unul dintre numere este 2, iar celalalt, un numar prim, impar

Presupunem ca a = 2, deoarece nu conteaza ordinea.

2 + b | 2b

Stiim ca 2 + b este impar, deci 2 + b | b, deci b + 2 este divizor al lui b, dar b este prim

Despre numerele prime stim ca au doar 2 divizori: 1 si numarul insusi, deci
2 + b poate fi 1 sau b

Cazul I: 2 + b = 1 (imposibil)
Cazul II: 2 + b = b ==> 2 = 0 (Imposibil)

Relatia de mai sus este falsa ==> Toata presupunerea este falsa ==> Nu exista numere care au proprietatea mentionata mai sus.