Question

fie S suma siP produsul a 10 nr. naturale consecutive. sa se determine restul impartiri luiS la 10 si sa se demonstreze ca restul impartirii lui p la 100 este egal cu 0.

Answer 1

Fie a-4, a-3, a-2, a-1, a, a+1, a+2, a+3, a+4, a+5 cele 10 numere consecutive
S=10a+5, deci restul impartirii lui s la 10 este 5

Vom dem ca 100 divide P (adica restul impartirii lui P la 100 este 0):
Dintre patru numere consecutive, unul sigur este multiplu de 4 si cum noi avem 10 numere consecutive, inseamna ca oricum gasim un multiplu de 4 printre ele, deci
4 | P.

Printre primele cinci numere consecutive din sirul nostru, unul sigur este multiplu de 5. In cazul cel mai nefavorabil, consideram ca ultimul dintre ele este multiplu de 5 (adica a). Cum noi avem 10 numere consecutive, inseamna ca in urmatoarele 5 nr consecutive mai gasim inca un multiplu de 5. Asadar avem doi multipli de 5 in produsul P, adica:
25 | P si 4 | P, deci:
25*4=100 | P.  (q.e.d.)